اتحاد های ریاضی

تاريخ : سه شنبه چهارم دی ۱۳۹۷ | 16:1 | نویسنده : مجتبی کاظمی صدر

اتحاد و تجزیه

اتحاد در ریاضیات، یک گزاره همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت‌های جبری در ریاضی بکار می‌رود. به عبارتی بهتر؛ معادله‌ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می‌شود.

تجزیه عبارت است از شکستن یک عبارت (عدد، چند جمله ای یا ماتریس) به صورت مضربی از عبارات دیگر، بصورتی که حاصل‌ضرب آن‌ها عبارت اصلی را نتیجه بدهد مثلاً عدد ۱۵ به دو عدد اول ۵ و ۳ تجزیه می‌شود و چندجمله‌ای x^۲ − ۴ به (x − ۲)(x + ۲). (برای مثال در این تجزیه از اتحاد مزدوج استفاده شده‌است) نتیجهٔ یک تجزیه همیشه حاصل‌ضربی از عبارات ساده‌تر است، و تجزیه یک چندجمله‌ای همواره یکتاست. هرچند از راه‌های مختلفی می‌توان تجزیه را انجام داد.

کاربرد اتحاد

ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند101²
تجزیه عبارات گویا که خود درب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
تجزیه عبارات گویا که برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
بدست آوردن جواب معادلات درجهٔ دو

انواع اتحاد

اتحادها بسیار زیاد هستند، اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند از این قرارند:

مربع دو جمله‌ای (اتحاد اول و اتحاد دوم)

مربع مجموع دو جمله‌ای

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$

مربع تفاضل دو جمله‌ای

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!$

مربع سه جمله‌ای

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \,\!$

نکته: اتحاد مربع سه جمله‌ای برخلاف اتحادهای مربع دو جمله‌ای و مکعب دو جمله‌ای، برای تفریق کاربرد ندارد.

مجموع و تفاضلات مکعبات دو جمله

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,\!$

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,\!$

اتحاد مزدوج

$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\,\!$

اتحاد جمله مشترک

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab \,\!$

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab \,\!$

مجموع و تفاضل مکعبات دوجمله (اتحاد چاق و لاغر یا فیل و فنجان)

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),\,\!$

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).\,\!$

اتحاد اویلر

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$

اتحاد لاگرانژ

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax-by)^{2}+(ay+bx)^{2}\,\!$

بسط چندجمله‌ای نیوتن

$(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dots+\binom{n}{n}a^0b^n$

برچسب‌ها: اتحاد, ریاضی, اتحادمربع, اتحادمزدوج

.: Weblog Themes By Pichak :.